1. Creamos un bot desde telegram, eso se hace enviando un mensaje a @BotFather. Una vez creado, establecemos el dominio de nuestro sitio, por ejemplo si quiero poner en login en https://tar.mx/app/telegram/, el dominio sería tar.mx, enviamos mensaje al @BotFather /setdomain tar.mx o escribiendo /help el bot nos irá enviando mensajes y atajos de teclado.
2. Copiamos el código a nuestra página donde estará el login
<script async src="https://telegram.org/js/telegram-widget.js?5" data-telegram-login="NOMBREBOT" data-size="large" data-radius="20" data-request-access="write" data-auth-url="https://tar.mx/apps/telegram/t.php"></script>
NOMBREBOT será el bot que creamos con @BotFather. data-auth-url es el url del script PHP que validará la identificación con Telegram.
3. Ponemos el código que va a leer la identificación --- código t.php